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Diskretisierung eines kontinuierlichen Systems und numerische Lösung der zugehörigen Differentialgleichung am Beispiel des Exponentiellen Wachstums 
Von einer Zustandsgröße Z sei bekannt, dass sie - beginnend mit dem Startwert Z(0)=1 - kontinuierlich exponentiell wächst.
Die zugehörige Änderungsgleichung sei also Ä(t)=c*Z(t)
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(Üblich ist statt Ä(t) die Bezeichnung Z'(t), aber im Interesse von der Analysis unkundigen  Schülerinnen und Schülern soll hier nicht von der Differentialgleichung Z'(t)=c*Z(t) gesprochen werden.)

Die analytische Lösung dieses Problems lautet bekanntlich Z(t)=ect.

Diskretisierung als Vorbereitung einer numerischen Lösung Um für dieses Problem zu einer numerischen Lösung zu kommen, ist zunächst eine Diskretisierung in einzelne Zeitschritte dt>0 notwendig, also die Beschränkung auf diskrete Zeitpunkte   t = ndt  (beim einfachen Euler-Cauchy-Verfahren) bzw.  t = n/2dt  (beim Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung), wobei jeweils ID(n)=INo ist.

Zur Anwendung des (einfachen) Euler-Cauchy-Verfahrens

Zeit Zustandsgröße Änderung
0dt Z(0)=1 Ä(0) = c*Z(0)
1dt Z(dt) = Z(0)+Ä(0)dt = 1+cdt Ä(dt) = c*Z(dt) = c(1+cdt)
2dt Z(2dt) = Z(dt)+Ä(dt)dt = (1+cdt)2 Ä(2dt) = c*Z(2dt) = c(1+cdt)2
.... .... ....
ndt Z(ndt) = (Z(dt))n = (1+cdt)n  
Würde man in der Gleichung Z(ndt)=(1+cdt)n speziell die Schrittweite dt=1 benutzen, so erhielte man daraus die bekannte
Zinseszinsformel
bei jährlicher Verzinsung
Z(n) = (1+c)n
Andererseits ergibt sich bei der
Rück-Substitution   dt = t/n : Z(t) = (1+ct/n)n  -->  ect     für  n --> unendlich
Fehlerbetrachtung Bei  Z(dt) =1+cdt  handelt es sich um die ersten beiden Summanden der zugehörigen
Taylor-Reihe  ecdt = Taylor-Reihe.
Allgemein sagt man, der Fehler des Euler-Cauchy-Verfahrens sei von der Ordnung  (dt)2 . Daraus wird deutlich, daß der
Fehler  ecdt - Z(dt) =
von der Ordnung  (dt)2  ist.
Verfahrens- und Rundungsfehler Dieser Verfahrensfehler wird umso kleiner, je kleiner die Schrittweite dt gewählt wird.

Andererseits führt die Verkleinerung von dt zu einem höheren Rechenaufwand, und damit nimmt die Gefahr von spürbaren Rundungsfehlern erheblich zu, denn Computer rechnen bekanntlich nur mit einer endlichen Stellenzahl.

und der Gesamtfehler? Offen bleibt bei dieser Fehlerbetrachtung, wie sich Verfahrens- und Rundungsfehler nun auf den Gesamtfehler auswirken.

Festzustellen ist ferner, daß sich der Gesamtfehler bei fester Schrittweite dt mit zunehmender Schrittanzahl n sehr schnell spürbar vergrößern kann.

Experimente zu unterschiedlichen dt-Wahlen mit einer Tabellenkalkulation Wer die Auswirkungen unterschiedlicher dt-Wahlen und die Fehlervergrößerung bei zunehmender Schrittanzahl  n  experimentell genauer analysieren will, kann sich hier eine MS-WinWorks3-Tabelle "eulernum.wks" als ZIP-File "eulernum.zip" (22 K) herunterladen, die neben dem einfachen auch zwei Verbesserungen des Euler-Cauchy-Verfahrens zur Untersuchung anbietet.
Wegen der Größe des Fehlers beim (einfachen) Euler-Cauchy-Verfahren wendet man - wenn möglich (i.e. bei kontinuierlichen Systemen) - das Runge-Kutta-Verfahren (i.d.R. 4.Odnung) an:

Zur Anwendung des Runge-Kutta-Verfahrens (4. Ordnung)

Zeit Zustandsgröße Änderung
0dt Z(0)=1 Hilfsrechnung:
1dt Hilfsrechnung wie oben liefert:
2dt Hilfsrechnung wie oben liefert:

.... .... ....
ndt  
Bei der
Rück-Substitution  dt = t/n in der Gleichung
Z(ndt) =
ergibt sich für   n --> unendlich   wieder
Z(t) =--> ect  ,
wobei die Konvergenz jedoch wesentlich schneller erfolgt als beim (einfachen) Euler-Cauchy-Verfahren.
Fehlerbetrachtung Bei  Z(dt) =
handelt es sich um die ersten fünf Summanden der zugehörigen
Taylor-Reihe  ecdt = .
Allgemein sagt man, der Fehler des Runge-Kutta-Verfahrens sei von der Ordnung  (dt)5 . Daraus wird deutlich, dass der
Fehler  ecdt - Z(dt) =
von der Ordnung  (dt)5  ist.
Verfahrens- und Rundungsfehler Geringe Verkleinerungen der Schrittweite dt beeinflussen diesen Verfahrensfehler zwar verhältnismäßig wenig, vergrößern jedoch den Rechenaufwand erheblich, so daß es zu deutlich größeren Rundungsfehlern kommen kann, denn Computer rechnen bekanntlich nur mit einer endlichen Stellenzahl.
und der Gesamtfehler? Offen bleibt bei dieser Fehlerbetrachtung, wie sich Verfahrens- und Rundungsfehler nun auf den Gesamtfehler auswirken.

Festzustellen ist ferner, daß sich der Gesamtfehler bei fester Schrittweite  dt  mit zunehmender Schrittanzahl  n  auch beim Runge-Kutta-Verfahren 4.Ordnung durchaus spürbar vergrößern kann.

Vorsicht !
Hier müssen Sie selber nachdenken!
Auswahlprobleme mit den Rechenverfahren
Unterrichtsprobleme mit den Rechenverfahren

Kopf der Seite © Goldkuhle, Kohorst, Portscheller 23.3.1997