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Das Euler-Cauchy
Verfahren
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Die Aufgabe:
Numerische Lösung |
Von einer Zustandsgröße Z seien
bekannt:
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Das Ziel:
Bestimmung von Prognosewerten |
Gesucht ist nun ein Prognosewert
P(to+dt) für den leider unbekannten tatsächlichen Wert Z(to+dt) nach einer gewissen Zeitspanne dt. |
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Die Idee des Euler-Cauchy-Verfahrens: Lineare Fortsetzung von Z mit der Tangentenfunktion P |
Aus den obigen Angaben ( Punkt A und Steigung m =m(to) im Punkt A ) läßt sich mit Hilfe des "Steigungsdreiecks" eine lineare Funktion P ermitteln, denn es ist (vgl. die folgende Skizze) | |||
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Diese lineare Funktion P läßt sich interpretieren als "Lineare
Fortsetzung" der Funktion Z vom Zeitpunkt to bis zum Zeitpunkt
to+dt. Mathematisch ausgedrückt: Die Prognose-Funktion P ist die Tangentenfunktion zur (differenzierbaren) Funktion Z im Zeitpunkt to. |
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Oft geht's ja sogar ... | In all den Fällen, in denen der Graph von Z im betrachteten Zeitintervall dt nur wenig von einer Geraden abweicht, stellt der nach dem obigen Euler-Cauchy-Verfahren ermittelte Wert P(to+dt) einen brauchbaren Prognosewert für den vorherzusagenden Wert Z(to+dt) dar, denn in diesen Fällen gilt | |||
Z(to+dt) ~ P(to+dt) |
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Der zugehörige Punkt B( to+dt ; P(to+dt ) wird als der gesuchte "nächste" Kurvenpunkt prognostiziert und dient als Startpunkt für den nächsten Euler-Cauchy-Iterationsschritt. | ||||
Wie sich die Funktion Z bzw. ihr Graph allerdings zwischen den Punkten A und B genau verhält, bleibt unbekannt und könnte nur durch eine Verfeinerung der Schrittweite näherungsweise ermittelt werden; dadurch würde sich jedoch auch der Prognosepunkt B ändern. | ||||
... manchmal aber auch nicht ... | Unglücklicherweise braucht die fragliche Funktion Z natürlich im betrachteten Zeitintervall dt nicht annähernd linear zu sein, wie z.B. die folgende Skizze zeigt: | |||
... und dann heißt's: "Dumm gelaufen! Was nun ...?" |
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Beispiel für die fortschreitende
Fehlervergrößerung bei der Schrittweite dt=0,25 |
Das folgende konkrete Beispiel zeigt, wie schnell - selbst bei einer "gutmütigen" Funktion - das Euler-Cauchy-Verfahren durch den Verfahrensfehler zu im Grunde unbrauchbaren Prognosewerten führt bzw. führen kann. | |||
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Gegeben sei die Differentialgleichung Z'(t) = Z(t) + t - 1 mit Anfangswert Z(0) = 1. Die hier zur Verdeutlichung gewählte Schrittweite dt=0,25 ist allerdings untypisch groß - üblich wäre etwa dt=0,1 mit spürbarem Genauigkeitsgewinn. |
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Numerische Lösung nach Euler-Cauchy
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Graphische Darstellung des (einfachen) Euler-Cauchy-Verfahrens mit eingetragener Lösungsfunktion ![]() |
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Verfahrensfehler | Man versucht, den beim Euler-Cauchy-Verfahren auftretenden Verfahrensfehler ggf. durch eine Verkleinerung der Schrittweite bzw. des Zeitintervalls dt zu vermindern, was jedoch ungünstigerweise gerade bei diskreten Systemen oft nicht (mehr) zulässig ist. | |||
Wer's genauer wissen will ... |
Genauere Untersuchungen hinsichtlich der Auswirkungen unterschiedlicher dt-Wahlen
beim (einfachen) Euler-Cauchy-Verfahren sind am Beispiel des exponentiellen
Wachstums zusammengestellt auf der Seite Diskretisierung eines kontinuierlichen Systems und numerische Lösung ... |
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Rundungsfehler | Eine solche Verminderung des Verfahrensfehlers erkauft man allerdings i.a. damit, dass dann bei einer größeren Zahl von Rechenschritten (Iterationsschritten) bis zum Erreichen der vorgewählten "Prognose-Endzeit" größere Rundungsfehler auftreten können. | |||
Fehlerüberlagerung
Wie man sich auch dreht und wendet, der .... bleibt hinten! (Volksweisheit) |
Man kann also Fehler prinzipiell nicht vermeiden, und es bleibt obendrein unklar, in welcher Weise Verfahrens- und Rechen- bzw. Rundungsfehler den Gesamtfehler vergrößernd oder verkleinernd beeinflussen. Es ist vielmehr durchaus möglich, daß sich die Fehler bis zu ersichtlich unsinnigen Rechenergebnissen verstärken. Dies gilt in besonderem Maße für periodische Abläufe, so daß hier leicht der Eindruck eines chaotischen Verhaltens entstehen kann, obwohl dieses in der Realität gar nicht vorliegt. | |||
Fazit | Oft bietet das Euler-Cauchy-Verfahren bei diskreten Systemen und vor allem bei hinreichend kurzen Prognosezeiträumen eine noch annehmbare Genauigkeit - bei diskreten Systemen hat man ja im Grunde auch gar keine Alternative. | |||
Für kontinuierliche Systeme bzw. längere
Prognosezeiträume reicht jedoch die selbst bei kleinem dt mit
dem Euler-Cauchy-Verfahren erzielbare Genauigkeit in aller Regel nicht aus.
Hier bedient man sich des deutlich aufwendigeren, aber auch genaueren Runge-Kutta-Verfahrens, das mit mehreren Stützstellen im Zeitintervall dt arbeitet und deren Einfluß auf den Prognosewert auch noch unterschiedlich gewichtet. |
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Vorsicht ! Hier müssen Sie selber nachdenken! |
Auswahlprobleme mit den Rechenverfahren
Unterrichtsprobleme mit den Rechenverfahren |
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© Goldkuhle, Kohorst, Portscheller 23.3.1997
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