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Auswahlprobleme mit den Rechenverfahren
Mitarbeit ? - ja bitte !!! Wenn Sie Lust haben, dann schreiben Sie uns doch Ihre Gedanken zu den unten aufgeworfenen "Problemen" an unser "Schwarzes Brett"!

Wir sind sehr gespannt auf Ihre Einsendungen!
Vielleicht ergibt sich da eine rege Diskussion?!



Problem 1: Bei den Erläuterungen zum
(einfachen) Euler-Cauchy-Verfahren und zum Runge-Kutta-Verfahren (4. Ordnung)
wurde jeweils das gleiche Anfangswertproblem als Beispiel herangezogen:
Differentialgleichung  Z'(t) = Z(t) + t - 1
Anfangswert  Z(0) = 1
analytische Lösung  Z(t)  = et -1
 Z(1) = e - 1 = 1,71828..
Dabei ergaben sich - mit jeweils etwa gleichem Rechenaufwand - für  Z(1)  die folgenden numerischen Lösungen:
  
  Euler-Cauchy Runge-Kutta
Schrittweite   dt = 0,25   dt = 1
Z(1) numerisch   1,4414...   1,70833...
Abweichung von der analytischen Lösung   ca. 0,28   ca. 0,01

  

Zur Diskussion Welche "Lösung" für  Z(1)  ist "besser", wenn
 
  • a)  ein diskretes System mit
         Schrittweite  0,25
  • b)  ein kontinuierliches System

zugrunde gelegt wird ?



Problem 2: Ein Geldinstitut wirbt:

"Zur Geburt schenken wir Ihrem Kind ein Spar-Sonderkonto mit 5,- DM Guthaben!"
( Jahreszinssatz 5 % , vierteljährliche Zinsgutschrift )

Was ist dieses Geschenk eigentlich "wert", wenn man das Spar-Sonderkonto viele Jahre lang unangetastet läßt ?
  

Ein DYNASYS-Modell
ist schnell erstellt:
DYNASYS-Konto-Modell

Startwert Kontostand = 5
Jahreszinssatz = 0,05
Zinsen = Kontostand * Jahreszinssatz

Doch nun die "Gretchenfrage": Welches Rechenverfahren mit welcher Schrittweite soll bzw. muß man hier für eine Simulation - z.B. über 100 Jahre - wählen ?
Unsicher probiert man etwa folgende vier Simulationen mit recht unterschiedlichen Ergebnissen:
 
  Verfahren Schrittweite Betrag nach
100 Jahren
1. Euler-Cauchy   dt = 1  657,51  DM
2. Euler-Cauchy   dt = 0,25  719,42  DM
3. Runge-Kutta   dt = 1  742,07  DM
4. Runge-Kutta   dt = 0,25  742,07  DM

 

Zur Diskussion
  • Warum liefern die 3. und 4. Simulation das gleiche Ergebnis?
  • Welche Simulation ist eigentlich "richtig"?
  • Warum gerade diese?
  • Und warum sind die anderen "falsch"?


Kopf der Seite © Goldkuhle, Kohorst, Portscheller 31.1.1997