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Modell des exponentiellen
Wachstums
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Oft ist in einem dynamischen System zwar die Änderungsrate c für
die Zustandsgröße Z konstant, jedoch ist die (absolute) Änderung
von Z in gleichen Zeitabschnitten keineswegs konstant. Vielmehr hängt
diese von dem jeweils vorhandenen Wert von Z in der Weise ab, daß die
Größe der Änderung proportional zur Größe
des jeweils zu Beginn eines Zeitabschnitts bereits vorhandenen Wertes von
Z ist. Anders ausgedrückt bedeutet dies: |
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Je größer Z bereits ist, umso größer ist das Wachstum von Z | Entsprechend heißt es in der Modellgleichung für die Zustandsänderung in einem Zeitabschnitt: | |
Änderung_von_Z = Änderungsrate_c * Z |
Man nennt dies auch ein (ungebremstes) rückgekoppeltes Wachstum. | |
Allgemein bekannt ist diese Situation von der Zinseszinsrechnung bei einem Sparkonto mit einem feststehenden Zinssatz c und jährlicher Verzinsung (bei zugrundeliegendem diskreten System) bzw. "stetiger Verzinsung" (bei zugrundeliegendem kontinuierlichen System). | ||
Den Fall der jährlichen Verzinsung lernen Schülerinnen und Schüler in der Regel bereits im Mathematikunterricht der Klasse 7 (im Anschluß an die Zinsrechnung) bzw. der Klasse 10 (Exponentialfunktionen) kennen mit der | ||
Zinseszinsformel Z(t) = Zo * (1+c)t |
(Anfangskapital Zo, Jahres-Zinssatz c, Anlagedauer t Jahre). |
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Dagegen wird der Fall der "stetigen Verzinsung" allenfalls im Zusammenhang mit der Einführung der Eulerschen Zahl e am Ende des Analysis-Unterrichts (i.e. in der Jahrgangsstufe 12 oder 13) behandelt wird. | ||
Drückt man den obigen Sachverhalt in der Sprache der Analysis aus, so hat man es hier zu tun mit der Differentialgleichung | ||
(*) Z'(t) = c * Z(t) | Diese Differentialgleichung läßt sich analytisch lösen durch die Exponentialfunktion | |
Z(t) = Zo * e(c*t) | wobei Zo den Startwert (Anfangswert) der Zustandsgröße Z bezeichnet. | |
"EXPONENTIELLES WACHSTUM" |
Daher heißt dieser Wachstumstyp "Exponentielles Wachstum". |
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DYNASYS und ebenso alle anderen Modellbildungs- und Simulations-Programme lösen bei der Modellbildung entstehende Differentialgleichungen wie die Gleichung (*) allerdings nicht algebraisch-analytisch, sondern durchweg numerisch (vgl. die Rechenverfahren nach "Euler-Cauchy" und "Runge-Kutta"), denn für die meisten Differentialgleichungen gibt es keine "geschlossenen" Lösungen. | |
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© Goldkuhle, Kohorst, Portscheller 6.3.1997
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