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Modell des logistischen Wachstums
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Besteht in einem dynamischen System für das Wachstum einer Zustandsgröße Z eine feste obere Grenze "Z_extrem" , so muß das Wachstum derart gebremst werden, daß diese Grenze nicht überschritten werden kann.Eine solche Entwicklung kann man mit Hilfe des zusätzlichen Korrekturfaktors | |
(1 - Z / Z_extrem) | in der zum exponentiellen Wachstum gehörigen Gleichung | |
Änderung_von_Z = Änderungsrate_c * Z |
(vgl. "Modell des Exponentiellen Wachstums") nachbilden. | |
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Dieser Korrekturfaktor ist bei großem Abstand zwischen dem Wert Z der
Zustandsgröße und dem Grenzwert "Z_extrem" nahezu =1, ändert
dann also fast nichts am exponentiellen Wachstum; bei sehr kleinem Abstand
dieser Werte jedoch ist er nahezu =0 und läßt damit (fast) keine
Änderungen der Zustandsgröße Z mehr zu. Mathematisch ausgedrückt ist der Korrekturfaktor eine streng monoton fallende Funktion mit Maximum 1 und Grenzwert 0. Aus der zum exponentiellen Wachstum gehörigen Gleichung ergibt sich durch Einführung dieses Korrekturfaktors als neue Gleichung für die Änderung in einem Zeitabschnitt: |
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Änderung_von_Z = (1 - Z / Z_extrem) * c * Z |
Es entsteht also die Differentialgleichung | |
(*) Z'(t) = (1-Z(t)/Z_extrem)*c*Z(t) | Diese Differentialgleichung wird gelöst durch die Logistische Funktion | |
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wobei Zo den Startwert (Anfangswert) der Zustandsgröße Z bezeichnet. | |
"LOGISTISCHES WACHSTUM" |
Daher heißt dieser Wachstumstyp Logistisches Wachstum. |
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DYNASYS und ebenso alle anderen Modellbildungs- und Simulations-Programme lösen bei der Modellbildung entstehende Differentialgleichungen wie die Gleichung (*) allerdings nicht algebraisch-analytisch, sondern durchweg numerisch (vgl. die Rechenverfahren nach "Euler-Cauchy" und "Runge-Kutta"), denn für die meisten Differentialgleichungen gibt es keine "geschlossenen" Lösungen. |
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© Goldkuhle, Kohorst, Portscheller 12.12.1996 |