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Diskretisierung eines kontinuierlichen
Systems und numerische Lösung der zugehörigen Differentialgleichung
am Beispiel des Exponentiellen Wachstums
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Von einer Zustandsgröße Z sei bekannt, dass
sie - beginnend mit dem Startwert Z(0)=1 - kontinuierlich
exponentiell wächst. Die zugehörige Änderungsgleichung sei also Ä(t)=c*Z(t). (Üblich ist statt Ä(t) die Bezeichnung Z'(t), aber im Interesse von der Analysis unkundigen Schülerinnen und Schülern soll hier nicht von der Differentialgleichung Z'(t)=c*Z(t) gesprochen werden.) Die analytische Lösung dieses Problems lautet bekanntlich Z(t)=ect. |
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Diskretisierung als Vorbereitung einer numerischen Lösung | Um für dieses Problem zu einer numerischen Lösung zu kommen, ist zunächst eine Diskretisierung in einzelne Zeitschritte dt>0 notwendig, also die Beschränkung auf diskrete Zeitpunkte t = ndt (beim einfachen Euler-Cauchy-Verfahren) bzw. t = n/2dt (beim Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung), wobei jeweils ID(n)=INo ist. | |||||||||||||||||||
Zur Anwendung des (einfachen) Euler-Cauchy-Verfahrens |
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Würde man in der Gleichung Z(ndt)=(1+cdt)n speziell die Schrittweite dt=1 benutzen, so erhielte man daraus die bekannte | ||||||||||||||||||||
Zinseszinsformel bei jährlicher Verzinsung |
Z(n) = (1+c)n | |||||||||||||||||||
Andererseits ergibt sich bei der | ||||||||||||||||||||
Rück-Substitution dt = t/n : | Z(t) = (1+ct/n)n --> ect für n --> unendlich | |||||||||||||||||||
Fehlerbetrachtung |
Bei Z(dt) =1+cdt handelt es sich um die ersten beiden
Summanden der zugehörigen Taylor-Reihe ecdt = ![]() |
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Allgemein sagt man, der Fehler des Euler-Cauchy-Verfahrens sei von der Ordnung (dt)2 . |
Daraus wird deutlich, daß der Fehler ecdt - Z(dt) = ![]() von der Ordnung (dt)2 ist. |
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Verfahrens- und Rundungsfehler |
Dieser Verfahrensfehler wird umso kleiner, je kleiner die Schrittweite
dt gewählt wird.
Andererseits führt die Verkleinerung von dt zu einem höheren Rechenaufwand, und damit nimmt die Gefahr von spürbaren Rundungsfehlern erheblich zu, denn Computer rechnen bekanntlich nur mit einer endlichen Stellenzahl. |
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und der Gesamtfehler? |
Offen bleibt bei dieser Fehlerbetrachtung, wie sich Verfahrens- und
Rundungsfehler nun auf den Gesamtfehler auswirken.
Festzustellen ist ferner, daß sich der Gesamtfehler bei fester Schrittweite dt mit zunehmender Schrittanzahl n sehr schnell spürbar vergrößern kann. |
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Experimente zu unterschiedlichen dt-Wahlen mit einer Tabellenkalkulation | Wer die Auswirkungen unterschiedlicher dt-Wahlen und die Fehlervergrößerung bei zunehmender Schrittanzahl n experimentell genauer analysieren will, kann sich hier eine MS-WinWorks3-Tabelle "eulernum.wks" als ZIP-File "eulernum.zip" (22 K) herunterladen, die neben dem einfachen auch zwei Verbesserungen des Euler-Cauchy-Verfahrens zur Untersuchung anbietet. | |||||||||||||||||||
Wegen der Größe des Fehlers beim (einfachen) Euler-Cauchy-Verfahren wendet man - wenn möglich (i.e. bei kontinuierlichen Systemen) - das Runge-Kutta-Verfahren (i.d.R. 4.Odnung) an: | ||||||||||||||||||||
Zur Anwendung des Runge-Kutta-Verfahrens (4. Ordnung) |
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Bei der | ||||||||||||||||||||
Rück-Substitution dt = t/n |
in der Gleichung Z(ndt) = ![]() ergibt sich für n --> unendlich wieder Z(t) = ![]() wobei die Konvergenz jedoch wesentlich schneller erfolgt als beim (einfachen) Euler-Cauchy-Verfahren. |
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Fehlerbetrachtung |
Bei Z(dt) =
![]() handelt es sich um die ersten fünf Summanden der zugehörigen Taylor-Reihe ecdt = ![]() |
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Allgemein sagt man, der Fehler des Runge-Kutta-Verfahrens sei von der Ordnung (dt)5 . |
Daraus wird deutlich, dass der Fehler ecdt - Z(dt) = ![]() von der Ordnung (dt)5 ist. |
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Verfahrens- und Rundungsfehler | Geringe Verkleinerungen der Schrittweite dt beeinflussen diesen Verfahrensfehler zwar verhältnismäßig wenig, vergrößern jedoch den Rechenaufwand erheblich, so daß es zu deutlich größeren Rundungsfehlern kommen kann, denn Computer rechnen bekanntlich nur mit einer endlichen Stellenzahl. | |||||||||||||||||||
und der Gesamtfehler? |
Offen bleibt bei dieser Fehlerbetrachtung, wie sich Verfahrens- und
Rundungsfehler nun auf den Gesamtfehler auswirken.
Festzustellen ist ferner, daß sich der Gesamtfehler bei fester Schrittweite dt mit zunehmender Schrittanzahl n auch beim Runge-Kutta-Verfahren 4.Ordnung durchaus spürbar vergrößern kann. |
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Vorsicht ! Hier müssen Sie selber nachdenken! |
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© Goldkuhle, Kohorst, Portscheller 23.3.1997
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